Pengertian Determinan
Segi Geometri
Asumsikan kita mempunyai matriks nxn,
n adalah bilangan bulat positif, dan kita buat plot atau kurva. Jika
n=1, kita memiliki determinant matriks 1×1 yang bisa diartikan matriks
yang mempunyai 1 dimensi(panjang). Sehingga nilai dari determinant itu
sendiri, adalah panjang dari titik O(titik awal) ke suatu titik(titik
akhir). Misalnya kita mempunyai matriks [6], matriks 1×1, maka nilai
determinant nya adalah 6.
Jika
n=2, kita dapat menyebutnya matriks berdimensi 2( panjang dan lebar)
dan asumsikan kita mempunyai matriks(x,y)-> (2,0) dan (0,4) kemudian
kita membuat kurva xy dan kita plot matriks tersebut. Sekilas nampak
bahwa, dari titik awal terhadap sumbu y mempunyai vector panjangnya 4
unit, dan terhadap sumbu x, vector panjangnya(lebar) 2 unit. Dengan
demikian kita dapat membuat bangun datar dengan cara membuat titik dari
penjumlahan 2 vektor->(2,4). Luas bidang datar itulah nilai dari
determinant matriks 2×2.
Jika
n=3, maka tentu saja matriks tersebut mempunyai 3 dimensi, panjang,
lebar, tinggi. Dengan cara membentuk bidang datar-bidang datar(seperti
pada n=2) dan pada akhirnya membentuk suatu bangun, kita dapat
menentukan volume dari bangun tersebut dan itulah nilai determinant
dari matriks 3×3.
Sebenarnya jika kita amati baik, n=1,2,3,…. Nilai determinant dari matriks tersebuat adalah “nilai ruang” dari matriks tersebut.
Untuk konsep, mirip dengan konsep Euclidean Space, mungkin dapat menjadi refrensi.
Segi Aljabar
Jika
dilihat dari segi Aljabar, determinant adalah jumlah nilai perkalian
element matriks dari penyusunan kembali set permutasi n!. Mungkin
sangat sulit jika kita membayangkan saja, untuk lebih jelas, mari kita
lihat penyusunan dibawah.
Kita mempunya matriks A seperti dibawah.
|a11 a12 a13|
|a21 a22 a23|
|a31 a32 a33|
Matriks
di atas mempunyai nilai n=3, sehingga kita dapatkan 6 buah susunan.(3!
= 6). Ketika melakukan permutasi, jumlah switching ganjil maka
dikalikan dengan “-1”, jika genap dikalikan dengan “+1”.
Permutasi
ke-
|
Susunan
Kolom
|
Susunan
Baris
|
Jumlah
Switching
|
Hasil
Permutasi
|
| 1 | 1-2-3 | 1-2-3 | 0 | a11*a22*a33 |
| 2 | 1-2-3 | 1-3-2 | 1 | -a11*a23*a32 |
| 3 | 1-2-3 | 2-1-3 | 1 | -a12*a21*a33 |
| 4 | 1-2-3 | 2-3-1 | 2 | a12*a23*a31 |
| 5 | 1-2-3 | 3-1-2 | 2 | a13*a21*a32 |
| 6 | 1-2-3 | 3-2-1 | 1 | -a13*a22*a31 |
Dengan ini kita
mendapatkan nilai determinant melalui menjumlahkan hasil dari permutasi
di atas. Dengan cara yang sama kita dapat menentukan nilai determinant
dari matriks nxn. Matriks dengan orde 4×4 berarti mempunyai 24 buah
hasil permutasi, matriks dengan orde 5×5 berarti mempunyai 120 buah
hasil permutasi, dan seterusnya tinggal menjumlahkan hasil tersebut.
(Cara ini, juga dinamakan Leibniz Formula yaitu menjumlahkan
hasil-hasil permutasi).
